Tacómetro-->Pon a prueba tus bujes (1) Teoría

El primer proyecto de Open Tooling consistirá en el diseño y montaje de un prototipo de tacómetro destinado a medir la calidad del funcionamiento de los bujes de las ruedas de bicicleta.

El principio en el que nos basaremos será en la ecuación que rige el movimiento de rotación sobte su eje principal:

Donde:

• J= momento de inercia de la ruedas respecto al eje de rotación. Esta es una característica intrínseca a la rueda. Podemos calcularlo de manera bastante aproximada conociendo los pesos distribución de los elementos que componen la rueda(llanta, cabecillas, radios y buje.). Como comprobaremos más adelante es bastante sencillo.

• C=disipación o amortiguamiento. El parámetro que buscamos, independiente de las características másicas y geométricas. Recoge el efecto de la disipación dentro del buje de los trinquetes y rozamientos de los rodamientos.

• x=ángulo girado.

Las condiciones iniciales son ángulo inicial igual a cero ( esto realmente no nos importa) y velocidad inicial conocida e igual a A.

La ecuación anterior se simplifica haciendo un cambio de variable:

Donde y(t) es la velocidad de giro, función del tiempo.

La solución inmediata a la ecuación anterior es:

Esto pinta bien, tenemos una expresión que liga la velocidad de giro con la velocidad inicial y las características de nuestra rueda, el momento de incercia que podemos calcular a mano o con la calculadora del frutero, y el término de disipación que estamos buscando nada más que despejando en la expresión anterior:

Ahora bien, tenemos que sacar de forma experimental el tiempo y la velocidad de giro. El tiempo es fácil, todos usamos reloj. ¿Pero lo es la velocidad de rotación?

Aquí es donde entra en acción el Arduino, será los ojos del tacógrafo que construiremos. Mientras el Arduino se encargará de tomar la señal, en el ordenador tendremos una interfaz gráfica hecha en Processing escuchando y calculando en tiempo real todo lo que podamos necesitar.

Hasta aquí la teoría, en la próxima entrada hablaré de como afrontaremos el diseño del sensor.

Addendum: Cálculo de los momentos de inercia:

Los momentos de inercia respecto a un eje se definen como:

Así tendremos:

Llanta(Ritchey Girder):

Masa=0.395Kg. Fuente: Weightweenies

r=0.559/2= 0.2975m Fuente: ISO 559 y Wikipedia

Radios (x32) (Desconocido):

Masa =0.185kg Fuente: Weightweenies

l delantera= 0.26m, d=0.019 m Fuente www.kstoerz.com

l trasera=0.257m d=0.0225 m Fuente www.kstoerz.com

Cabecillas (x32)(desconocido):

Masa=0.032kg Fuente: Weightweenies

r= 0.2975m Fuente: ISO 559 y Wikipedia

Buje (Deore M510):

Masa delantero= 0.218Kg Fuente: Shimano

Masa trasero= 0.426Kg Fuente : Shimano

r= 0.01m Fuente: www.kstoerz.com

Si bien la distancia al eje de la masa del buje es una estimación, el error introducido (del orden de lo 5mm) es varios órdenes de magnitud más pequeño que el valor del momento de inercia.

Los pesos de los componentes desconocidos se han tomado valores medios.

Resumiendo:

I_del= 0.0781+0.0042+0.0025+0.00002=0.0848Kgm^2

I_tras= 0.0781+0.0043+0.0025+0.00004=0.0851Kgm^2

• Como adelantábamos antes, la contribución del buje al momento de inercia es despreciable frente al resto.

• Llama la atención la aportación de las cabecillas, que a pesar de tener una masa casi 6 veces inferior a los radios, aportan un 60% de lo que lo hacen los radios, esto refleja la importancia de intentar aligerar al máximo las masas giratorias, y mas cuanto más alejadas del eje de rotación. En un post futuro abordaremos esta importancia comparando ruedas de 26'' y 29''.

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Imágenes de Google

Fórmulas de WolframAlpha